Distributions et équations aux dérivées partielles

Nous avons étudié la transformation de Fourier des distributions. Pour cela, nous avions utilisé quelques règles de la transformée de Fourier classique. Dans le deuxième exercice, nous avons utilisé la peigne de Dirac pour prouver la formule sommatoire de Poisson et ainsi démontré l’équation fonctionnelle de la fonction thêta. Enfin, nous avons calculé de façon récursive une convolution pour obtenir la transformée de Fourier de $(\cos(2\pi ax))^n$.

Nous avons passé en revue le reste des exercices de formulation variationnelle des équations aux dérivées partielles elliptiques. En particulier, nous avons considéré les conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann. Ce faisant, nous avons examiné les fonctions d’énergie qui ont leur origine dans l’équation d’Euler-Lagrange.

Nous avons terminé les exercices sur les distributions en général. Après nous avons considéré les exercices sur la convolution et l’inverse par rapport à la convolution.

Nous avons repris la démonstration de l’inégalité de Poincaré. Ensuite, nous nous sommes penchés sur les équations elliptiques. Ce faisant, nous avons montré l’équivalence de la formulation variationnelle et sa solution unique (théorème de Lax-Milgram).