Théorie ergodique

Ce un cours en deux partie. La premère partie est sur le point de vue probabiliste. Les objectifs de la deuxième sont la correspondance de Furstenberg et les théorèmes de Van der Waerden, de Furstenberg et Sárközy et de Szemeredi.

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Ergodic Theory de Manfred Einsiedler et Thomas Ward,

Séance 5, le 5 avril 2022

Nous avons démontré le théorème de Furstenberg et Sárközy(en). Pour cela nous avons utilisé le théorème spectral de Bochner et Herglotz(en) ensemble avec la propriété que les carrés sont un ensemble de Poincaré.

Littérature :

Théorie spectrale des opérateurs unitaires de Thierry de la Rue.

Séance 4, le 29 mars 2022

Nous avons terminé les théorèmes ergodiques. Nous avons d’abord démontré l’inégalité maximale de Hardy et Littlewood. Cela nous a permis de démontrer le théorème ergodique maximal. Le théorème ergodique de Birkhoff en a été déduit.

Ensuit, nous avons examiné les nombres normaux et le théorème de récurrence de Khintchin comme application des théorèmes ergodiques.

Littérature :

Chapter 3 de Systèmes dynamiques élémentaires par Yves Benoist et Frédéric Paulin.
Section 6.5 de Systèmes dynamiques par Jérôme Buzzi.
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Séance 3, le 22 mars 2022

Nous avons commencé par les théorèmes ergodiques, en commençant par dire ce qui les rend ergodiques. Ensuite, nous avons montré un théorème ergodique en fable $L^2$. Enfin, nous avons présenté le théorème ergodique de von Neumann dans sa forme générale pour les espaces de Hilbert.

Littérature :

Chapitre 6 de Systèmes dynamiques par Jérôme Buzzi.
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Séance 2, le 15 mars 2022

Nous avons introduit le concept de minimalité.

En utilisent la récurrence multiple nous avons démontré le théorème de van der Waerden.

Littérature :

Chapitre 3.1 de Systèmes dynamiques élémentaires par Benoist et Paulin.

Séance 1, le 8 mars 2022

Nous avons introduit plusieurs systèmes dynamiques topologiques : les rotations du cercle, les applications dilatantes du cercle, la dynamique symbolique et les fractions continues

Après cette introduction on a considéré le théorème de van der Waerden. Nous avons terminé avec la définition de l’espace produit et l’encodage de colorations comme points dans $\Lambda^{\mathbb{Z}}$ avec $\Lambda={0,1,\ldots,r-1}$.

Littérature :

Chaptire 1 de Systèmes dynamiques par Jérôme Buzzi ;
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Chapitre I.2 de Théorie des Systèmes Dynamiques: Une Introduction par Luìs Barreira et Clàudia Valls ;
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