Yann Bugeaud
(Université de Strasbourg)
Titre : Développement en fraction continue des nombres sturmiens
Résumé : Soit $\theta = [0; a_1, a_2, \dots]$
le développement en fraction continue d'un nombre irrationnel $\theta$
appartenant à $[0, 1]$ et soit $q_k$
le dénominateur de la $k$-ième réduite de~$\theta$.
On sait que les préfixes $M_k$ de longueur $q_k$ du mot sturmien
caractéristique de pente $\theta$ vérifient la relation de récurrence
$M_k= M_{k-1}^{a_k}M_{k-2}$ pour tout $k\ge 2$. Nous établissons une
relation de concaténation analogue pour les préfixes d'un mot sturmien
quelconque $\mathbf{s}$. Soit $b$ un entier $\ge 2$. Nous obtenons une
formule explicite pour le développement en fraction continue de tout nombre
réel $\xi$ dont la suite des chiffres en base $b$ forme une suite sturmienne
$\mathbf{s}$ sur l'alphabet $\{0,b-1\}$. On généralise ainsi un résultat
classique de Böhmer qui traitait le cas particulier où $\mathbf{s}$ est une
suite sturmienne caractéristique. Nous en déduisons une formule donnant
l'exposant d'irrationalité de $\xi$ en fonction de la pente et de
l'intercept de $\mathbf{s}$. Il s'agit d'un travail en commun avec Michel
Laurent (Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 2023).
Nicolas Chevallier
(Université de Haute Alsace)
Titre : Une perspective dynamique sur la solution de Tijdeman du problème du choix des présidents
Résumé : Un ensemble de pays forme une union et chaque année un président doit être
choisi de telle sorte qu'au cours des années le nombre de présidents de chaque
pays soit proportionnel à son poids. En 1982, Tijdeman a trouvé un algorithme
très satisfaisant de choix des présidents. Nous montrerons que la solution de
Tijdeman permet d'associer à chaque translation une bonne partition du tore de
dimension d. Dans notre travail, une partition est bonne si elle conduit à des
codages des trajectoires de la translation de discrépance minimale. Il s'agit
d'un travail en commun avec V. Berthé, O. Carton, W. Steiner et R. Yassawi.
Renan Laureti
(Université de Liège, Belgique)
Titre : Construction d'un nombre normal en bases Pisot et au sens
des fractions continues
Résumé : Dans une base entière $b\geq 2$, un nombre normal est un
réel qui contient tous les blocs de chiffres de longueur $\ell$ possibles
dans son développement en base $b$ avec la même fréquence
$\frac{1}{b^\ell}$. Par exemple, on peut montrer que le nombre de
Champernowne $x=0.12345678910111\ldots$ est normal en base $10$. Un nombre
est dit absolument normal si il est normal à toutes les bases entières, et
dès son article qui les introduit en $1917$, Borel a établi que presque tous
les réels au sens de la mesure de Lebesgue sont absolument normaux,
justifiant leur nom. Cependant, il n'existe pas de construction directe pour
de tels nombres, on doit recourir à des algorithmes. Un exemple récent est
celui de l'algorithme dû à Becher, Heiber et Slaman qui construit un nombre
absolument normal en temps polynomial, en utilisant
l'$(\varepsilon,k)$-normalité de Besicovitch. Cette construction a depuis
été étendue à de plus grands ensembles de bases : Becher and Yuhjtman ont
construit un nombre absolument normal et normal au sens des fractions
continues, et Madritsch, Scheerer et Tichy ont construit un nombre normal
dans toutes les bases Pisot. Un des travaux principaux de ma thèse, accompli
dans le cadre de ce programme ANR, a été de fusionner ces deux articles, et
j'exposerai leur fonctionnement après être revenu sur la notion de normalité
en bases non entières.
Manfred Madritsch
(Université de Lorraine)
Titre : Aléatoire déterministe : suites pseudo-aléatoires
Résumé : Nous étudions les suites de type polynomial en
fonction de diverses mesures. Cela inclut une comparaison de la
discrépance classique avec des variantes de la mesure de corrélation
au sens de Mauduit et Sárközy et d'autres. En particulier, nous
présentons des généralisations pour le comportement distributionnel
des suites de croissance « polynomiale » dans le cadre général des
champs de Hardy. Travail en commun avec J. Rivat et R. Tichy.
Thomas Stoll
(Université de Lorraine)
Titre : Complexité d'ordre maximal des suites automatiques et morphiques
Résumé : Dans cet exposé, je donnerai un aperçu sur les
résultats connus sur la complexité d'ordre maximal d'une suite sur un
alphabet fini. Il s'agit de quantifier la plus petite relation de
récurrence polynomiale qui engendre les $N$ premiers termes d'une suite.
Nous évoquerons les techniques et donnerons des estimations pour les
sous-suites polynomiales de certaines suites emblématiques
automatiques, telles que la suite de Thue-Morse, de Rudin-Shapiro etc.
Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons à leurs analogues,
morphiques, en base de Zeckendorf. Travail en commun avec D. Jamet et
P. Popoli.
14h00 | Yann Bugeaud |
15h00 | Nicolas Chevallier |
19h30 | Dîner au Coin de la Rue |
9h00 | Renan Laureti |
10h00 | Thomas Stoll |
11h00 | Manfred Madritsch |
Les personnes souhaitant participer à ces journées sont invitées à remplir le formulaire d'inscription ci-dessous et de l'envoyer, dans les meilleurs délais avant le 1er octobre 2024.
La participation est libre mais l'inscription avant la date limite est obligatoire pour une bonne prévision des effectifs (salle, repas, ...)
En cas de problème d'inscription avec ce formulaire, veuillez contacter directement Manfred Madritsch par courriel.