Distributions et équations aux dérivées partielles

Nous sommes partis d’une équation aux dérivées partielles, dans notre cas concrètement l’équation de Poisson. Puis nous l’avons transposée dans la formulation faible. Là, nous avons montré que toutes les conditions du théorème de Lax-Milgram sont remplies et que nous avons donc une solution unique. Par transformation réciproque, nous avons obtenu que cette solution est également la solution de l’équation initiale.

Dans la deuxième partie, nous avons commencé avec les éléments finis et avons montré comment on peut approximer l’espace de Hilbert des solutions avec ceux-ci.

Nous avons étudié la transformation de Fourier des distributions. Pour cela, nous avions utilisé quelques règles de la transformée de Fourier classique. Dans le deuxième exercice, nous avons utilisé la peigne de Dirac pour prouver la formule sommatoire de Poisson et ainsi démontré l’équation fonctionnelle de la fonction thêta. Enfin, nous avons calculé de façon récursive une convolution pour obtenir la transformée de Fourier de $(\cos(2\pi ax))^n$.

Nous avons répété la transformation de la formulation forte en formulation faible.

Ensuite, le choix des espaces de Hilbert appropriés pour le théorème de Lax-Milgram s’est porté sur les espaces de Sobolev. Pour cela, nous avons défini la dérivée faible et montré qu’un espace de Sobolev est un espace de Hilbert. De plus, les fonctions test y sont denses. Ensuite, nous avons démontré le théorème de la trace et généralisé la formule de Green. Enfin, nous avons examiné les espaces de Sobolev d’ordre supérieur.th

Nous avons d’abord déterminé les différents types d’équations aux dérivée partielles linéaires du second ordre : elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Ensuite, nous nous sommes penchés sur les conditions aux limites : de Dirichlet, de Neumann et de Robin.

Dans la deuxième partie, nous avons transformé l’équation différentielle en une formulation faible et démontré le théorème de Lax-Milgram.

Nous avons traduit la transformée de Fourier sur les distributions, puis toutes ses propriétés.

Pour terminer la partie sur les distributions, nous avons encore traité la transformation de Laplace. Nous avons énuméré quelques-unes de ses propriétés.

Ensuite, nous avons commencé la deuxième partie sur les équations aux dérivées partielles. L’équation de la chaleur nous a servi d’introduction.

Dans cette séance de TD, nous avons étudié les équations de convolution. Concrètement, nous avons résolu les exercices 5.1, 5.2 et 5.3.

Nous avons continué avec les convolutions et les équations de convolution. Ensuite, nous avons introduit la transformation de Fourier et discuté de ses propriétés par rapport aux fonctions.

Nous avons examiné plusieurs applications dans l’exercice 3.1 et nous nous sommes demandé s’il s’agissait de distributions. Dans l’exercice 4.1, nous avons déterminé la limite des suites de distributions. L’exercice 4.2 était consacrée à la dérivation des distributions. Enfin, dans l’exercice 4.3, nous avons traité de l’application des opérateurs différentiels aux distributions.

Nous avons introduit des distributions pour les champs scalaires et vectoriels et montré comment calculer le gradient et la divergence de ces champs. Ensuite, nous nous sommes consacrés à la convolution. Nous avons terminé cette fois par le lien entre les équations de convolution et les équations différentielles ordinaires.

Nous avons continué avec les distributions et montré

• comment les multiplier par une fonction lisse,
• comment les dériver,
• comment obtenir les deux distributions valeur principale et partie finie et
• comment calculer la limite des suites de distributions.

Nous avons d’abord considéré la mécanique des fluides. En particulier l’équation de transport et l’équation de Burgers. Les solutions générales que nous avons obtenues par la méthode des caractéristiques avaient le problème de ne pas être assez générales pour nous. Nous avons donc introduit des fonctions test et des distributions et fourni quelques exemples de ces objets.